代数学

代数学是数学的一个广泛分支，使用符号（通常是字母）来表示数字并陈述规则和关系。它涉及操作表达式，解方程和不等式，以及研究函数和结构。问题涵盖这些主题的广泛范围。

• 对峙

  Ehud 和 Benjamin 参加了一场公开的对峙。 每个人轮流向对手提出问题。 Ehud 被选为第一个提出问题的人。 “陷阱问题”是指对手无法回答的问题。 成功提出陷阱问题的竞争者立即赢得对峙。 两位竞争者（轮流）找到陷阱问题的概率恰好是 1/2。 此外，众所周知，问题之间没有任何依赖关系。 Ehud 赢得对峙的概率是多少？

  主题：

  代数学 -> 数列 概率论

• 对抗

  埃胡德和本雅明参加了一场公开辩论。 每个人轮流向对手提出一个问题。 埃胡德被选为第一个提出问题的人。“难题”是一个对手无法回答的问题。 成功提出难题的竞争者立即赢得辩论。 两个竞争者中的每一个（轮流）找到难题的概率正好是 1/2。 此外，众所周知，问题之间没有任何依赖关系。 埃胡德赢得辩论的概率是多少？

  主题：

  代数学 -> 数列 概率论
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 1

• 被13除

  在一张纸上写下从 1 到 2006 的所有自然数，并执行如下所述的一系列操作。在每个阶段，从列表中删除任意数量的数字，并将它们的总和标记为 S。用将 S 除以 13 所得的余数替换删除的数字。在执行若干次这样的步骤后，纸上只剩下两个数字。其中一个是 100。求另一个数。

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 数论 -> 除法 -> 奇偶性 代数学 -> 数列 -> 等差数列
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 2

• 第1224位数字

  将自然数按顺序从左到右写下来：

  1234567891011...

  例如，请注意，第10位数字是1，第11位数字是0。

  继续这样写下去，需要多少写多少...

  序列中第1224位数字是什么？

  主题：

  数论 算术 证明与示例 -> 构造示例/反例 代数学 -> 数列
  来源：
  • Bar-Ilan's weekly mathriddle competition, 2024 问题 1

• 最长游戏记录

  游戏开始时有一行 42 枚硬币，全部正面朝上（'人头'）。

  每位玩家轮流选择一枚正面朝上的硬币——将其翻转，并翻转其右侧相邻的硬币（如果存在）。

  如果轮到你时，所有硬币都反面朝上（'字面'）？你就赢了！

  游戏最多在几轮后结束？

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  主题：

  代数学 -> 数列 -> 等差数列
  来源：
  • Bar-Ilan's weekly mathriddle competition, 2024 问题 2

• 三角形的边长

  设 `n > 2` 为整数，且 ` t_1,t_2,...,t_n` 为正实数，满足

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  证明对于所有 i,j,k 满足 `1<=i<j<k<=n`，数集 `t_i,t_j,t_k` 均为某个三角形的边长。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 5

• 具有整数系数的多项式

  设 (p(x) 是一个具有整数系数的多项式，满足 `p(-2006) < p(2006)=2005`。证明 `p(-2006)<=-2007`。
   

  主题：

  数论 代数学 -> 代数技巧 代数学 -> 不等式
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 6

• 轮子转向他

  图中所有 6 个齿轮都在无滑动的情况下相互接触旋转。左侧齿轮的直径为 15.7 厘米，它每分钟旋转 12 圈。

  已知小齿轮每秒旋转一圈。

  小齿轮的直径是多少？

  

  主题：

  算术 几何学 -> 平面几何学 -> 圆 代数学 -> 应用题
  来源：
  • Bar-Ilan's weekly mathriddle competition, 2024 问题 7

• 问题

  八年级的学生向一个盒子里扔橡胶球，然后试图猜测那里积累了多少个球。 五名学生试图猜测：45、41、55、50、43，但没有人准确猜出数量。 猜测与真相相差 3、7、5、7 和 2 个球（不一定与猜测的顺序相同）。 盒子里有多少个球？

  主题：

  数论 算术 代数学 -> 应用题 逻辑学 -> 推理/逻辑 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2017, Grade 8 问题 1

• 问题

  黑板上写着从 1 到 `10^9`（包括 `10^9`）的所有数字。能被 3 整除的数字用红色书写，其余的数字用蓝色书写。所有红色数字的总和等于 `X`，所有蓝色数字的总和等于 `Y`。哪个数字更大，`2X` 还是 `Y`，大多少？

  主题：

  算术 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 逻辑学 -> 推理/逻辑 代数学 -> 数列 代数学 -> 不等式 -> 平均数/均值 数论 -> 除法
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2017, Grade 8 问题 2