几何学, 平面几何学

平面几何学关注平面二维表面上的图形和形状。它涵盖点、线、角、多边形（如三角形和四边形）和圆的属性。问题通常涉及与这些元素相关的证明、作图和计算。

面积计算 三角形 圆 对称性 角度计算 勾股定理 三角形不等式

• 时钟上的5度

  在什么时间，时钟的时针和分针之间的角度为5度？

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2013, Grade 7 问题 5

• 问题

  是否存在一个凸四边形，它的每条对角线都将其分成两个锐角三角形？

  主题：

  证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算

• 垂直的指针

  在一昼夜中，时针和分针在一条直线上并形成 `180^@` 角的次数。在所有这些直线上，是否存在相互垂直的直线？

  主题：

  逻辑学 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算

• 问题

  在平面上给定一个点和穿过该点的 `12` 条直线。证明在这些直线中，存在两条直线之间的夹角小于 `17^@`。

  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算

• 问题

  在平面上，给定 `12` 条相交的直线。证明其中必有两条直线之间的夹角小于 `17^@`。

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  主题：

  组合数学 -> 鸽巢原理 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 平面几何学 -> 平面变换 -> 全等变换（等距变换） -> 平行平移/平移

• 五边形

  在凸五边形 `ABCDE` 中，已知： `AE=AD`, `AB=AC` 且 `angle CAD=angle ABE + angle AEB`。

  在三角形 `ABE` 中，作中线 `AM`。 证明： `AM` 的长度是线段 `CD` 长度的一半。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 -> 三角形全等 几何学 -> 平面几何学 -> 平面变换 -> 全等变换（等距变换） -> 旋转
  来源：
  • Tournament of Towns, 1983-1984, Fall, Practice Version, Grades 9-10 问题 2 积分 3

• 问题

  给定一个具有 n 个顶点的正多边形。计算顶点与多边形顶点重合的不同三角形（非全等三角形）的数量

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  主题：

  组合数学 数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 -> 三角形全等
  来源：
  • Mink Exercises and Additional Competition Materials, 2018-2019, Exercise 4 问题 3

• 时钟上的角度

  在7:00过后多少分钟，时针和分针之间的角度首次为1度？
  注意：时钟的指针连续且以恒定速度移动

  主题：

  算术 代数学 -> 应用题 -> 行程问题 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2020-2021, Stage A, Grades 7-8 问题 3
  • Young Mathematician Olympiad, 2020-2021, Stage A, Grade 9 问题 3

• 在线条上的三角形

  六个全等的等腰三角形如图所示放置在一起。
  证明点 C、F 和 M 在一条直线上。

  

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  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 -> 三角形全等 几何学 -> 平面几何学 -> 平面变换 -> 全等变换（等距变换） -> 平行平移/平移
  来源：
  • Gillis Mathematical Olympiad, 2018-2019 问题 3

• 六边形平铺

  给出两种类型的瓷砖。第一种类型的每个瓷砖的形状是边长为 1 的正六边形。第二种类型的每个瓷砖的形状是边长为 2 的正六边形。假设每种类型的瓷砖都有无限的供应。是否可以用这些瓷砖平铺整个平面，同时使用两种类型的瓷砖？

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 4