代数学, 方程

方程是陈述两个数学表达式相等的语句。解方程涉及找到使语句为真的变量值。问题涵盖各种类型：线性、二次、多项式、有理、根式和方程组。

• 平均数的平均数 3

  观察以下图表：

  

  图表中连接到其他 4 个数字的每个数字必须等于它们的平均值：
  圆圈中用问号标记的数字是什么？

  主题：

  代数学 -> 方程 代数学 -> 不等式 -> 平均数/均值
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2020-2021, Stage A, Grade 9 问题 1

• 圆的切线

  已知两个三角形 ACE, BDF
  相交于 6 个点: G,H,I,J,K,L
  如图所示。已知每个四边形
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK 都有一个内切圆。
  FAHJ 四边形是否也可能有一个内切圆？
  

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  几何学 -> 立体几何/空间几何 几何学 -> 平面几何学 -> 圆 代数学 -> 方程 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算
  来源：
  • Gillis Mathematical Olympiad, 2019-2020 问题 5

• 二次方程

  解下列方程：

  甲：`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`

  乙： `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`

  丙： `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`

  主题：

  代数学 -> 方程 代数学 -> 代数技巧 -> 根/根式
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 1

• 二次方程的根的关系

  给定二次方程 `ax^2+bx+c=0` ，其解为 `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`。

  甲：证明韦达定理：`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`。

  乙：用a，b，c表示以下表达式： `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}`  `1/x_1+1/x_2, `  `x_1^3+x_2^3,`  `x_1^2+x_2^2`。

  主题：

  代数学 -> 代数技巧 代数学 -> 方程
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 3

• 矩形的增大

  给定一个平面上的矩形。是否有可能在矩形的每条边都增加 1 厘米后，面积增加 1 平方米？请给出一个例子或证明这是不可能的。

  （如果矩形是 1x5，那么它变成 2x6，并且任何边都不能为 0）

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  几何学 -> 面积计算 代数学 -> 方程 代数学 -> 应用题
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2017, Juniors 问题 1

• 整数表达式

  找出所有使表达式 `{(n+2)^4}/{n-1}` 有定义且为整数的整数 n。

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  数论 代数学 -> 方程
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 6

• 问题

  将字母替换为不同的非零数字，使得等式成立。相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字；גל和גר是由这些数字组成的两位数。
  `ל \/ ג + ל\/ר + ל\/ב + ל\/(רג) + ל\/ (ל ג) = ל`

  主题：

  数论 代数学 -> 方程 算术 -> 分数 谜题和画谜 -> 重构算式/密码算术
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 8th grade 问题 7
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 9th grade 问题 6

• 问题

  找出所有整数解 `(k>1) y^k=x^2+x`

  主题：

  数论 -> 素数 -> 素因数分解 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 1 积分 3

• 问题

  求一个两位数，它等于其各位数字乘积的两倍。

  主题：

  数论 算术 代数学 -> 代数技巧 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程
  来源：
  • problems.ru web site

• 问题

  房间里有 `4` 条腿的椅子和 `3` 条腿的椅子。当所有椅子上都坐着人时，房间里共有 `39` 条腿（没有人站着）。房间里每种椅子各有多少把？

  主题：

  代数学 -> 应用题 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） -> 欧几里得算法 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程