אריתמטיקה

אריתמטיקה היא ענף יסודי במתמטיקה העוסק במספרים ובפעולות הבסיסיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק. שאלות כוללות ביצוע פעולות אלו, הבנת תכונות מספרים (כמו שלמים, שברים, עשרוניים) ופתרון בעיות מילוליות קשורות.

• שאלה

  מצאו את המסכום של כל המספרים הטבעיים מ-`1` עד `100`.

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• החוגים

  בשכבה ה' לומדים `70` ילדים. מתוכם `27` הולכים לחוג תיאטרון, `32` שרים במקהלה, ו-`22` עושים ג'ודו. בחוג תיאטרון יש `10` ילדים מהמקהלה, במקהלה יש `6` ילדים מג'ודו, ובג'ודו יש `8` ילדים שלומדים גם תיאטרון. שלושה ילדים הולכים גם לחוג תיאטרון, גם לג'ודו, גם שרים במקהלה. וכמה ילדים מהשכבה לא לומדים באף חוג משלושה החוגים האלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת הקבוצות

• שאלה

  כמה מספרים בין `1` ל-`100` לא מתחלקים לא ב-`2`, לא ב-`5`?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-2, 4 ו-8 תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25 תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת הקבוצות תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה

  חשבו את ערך הביטוי (ללא מחשבון):

  `(1+1/(2^2-1))(1+1/(3^2-1))(1+1/(4^2-1))*...*(1+1/(99^2-1))`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  נתון דף נייר בגודל `10×10` ס"מ. האם תוכלו לגזור מהדף הזה מספר עיגולים שסכום הקטרים שלהם יהיה גדול מ-`5` מטרים?

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה

  על הלוח כתובים המספרים: `1, 2, 3, …, 2016, 2017`. תוך מהלך אחד מותר לבחור זוג מספרים שכתובים על הלוח, למחוק אותם ולרשום במקומם את ההפרש שלהם (החיובי). אחרי מספר פעולות כאלו נשאר על הלוח מספר בודד. האם יתכן שזה אפס?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> אינדוקציה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בכמה סכום כל המספרים הזוגיים שלא עוברים את `100` גדול יותר מסכום כל המספרים האי זוגיים שלא עוברים את `100`?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> טכניקה אלגברית לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• דובדבנים ואוכמניות

  `175` ק"ג דובדבנים עולים יותר מ-`125` ק"ג אוכמניות, אבל פחות מ-`126` ק"ג אוכמניות. בנוסף, ידוע שקילוגרם של דובדבנים עולה מספר שלם של שקלים, וגם קילוגרם של אוכמניות עולה מספר שלם של שקלים.

  הוכיחו כי `80` שקלים זה לא מספיק כדי לקנות קילוגרם אחד של אוכמניות ושלושה קילוגרמים של דובדבנים.

  ס.פומין

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 1 נקודות 3

• מסגרת

  על דף משבצות נתון ריבוע בגודל `NxxN`. נתבנן במסגרת שלו בעובי של משבצת אחת. היא מורכבת מ-`4*(N-1)` משבצות.

  האם תוכלו לרשום במשבצות של המסגרת `4*(N-1)` מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים), כך שיתקיים התנאי הבא:

  לכל מלבן שקודקודיו נמצאים על המסגרת וצלעותיו מקבילים לאלכסונים של הריבוע המקורי, סכום המספרים בקודקודים שווה לגודל קבוע. זה כולל גם את המלבנים "המנוונים" בעלי רוחב אפס שמתלכדים עם האלכסונים של הריבוע - במקרה הזה פשוט סוכמים את שני המספרים בקודקודים המנוגדים של הריבוע

  עבור:

  א. `N=3`

  ב. `N=4`

  ג. `N=5`

  

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 3 נקודות 2+3+4

• שאלה

  `120` כדורים זהים מונחים בצורה של פירמידה משולשת. כמה שכבות יש בפירמידה?

  הערה: מדובר בפירמידה, שהיא צורה תלת מימדית, ולא במשולש במישור.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> סדרות -> השלימו\המשיכו סדרה תורת המספרים -> מספרים משולשיים