לוגיקה

לוגיקה היא חקר ההיגיון והסקת מסקנות תקפה. היא כוללת ניתוח טענות, טיעונים ותהליכים דדוקטיביים. שאלות עשויות לכלול פתרון חידות היגיון, הערכת אמיתותן של טענות מורכבות, שימוש בטבלאות אמת וזיהוי כשלים לוגיים.

• שאלה

  בקודקודים של קובייה רשומים המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `8`. הוכיחו כי קיים מקצוע של הקובייה שההפרש בין המספרים שעומדים בקצותיו לפחות `3`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – K כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים גאומטריה -> גאומטריה במישור לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 2

• שאלה

  ל- K חברים סיפרו באותו זמן K חדשות (לכל חבר חדשה אחת). הם מתחילים לטלפן זה לזה ולהתחלף בחדשות. כל שיחה נמשכת שעה אחת. תוך כמה זמן כל החברים יכולים לדעת את כל החדשות? התבונן במקרים: 
  א. (5 נקודות) K=64 
  ב. (10 נקודות) K=55 
  ג. (12 נקודות) K=100 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 4

• טעות בתרגיל

  הוכיחו שבתרגיל הכפל הבא נפלה טעות

  \(\begin{array}& & & * & * & * & 2 & 7 \\ \times & & & & & * & * \\ \hline & * & * & * & * & * & 6 \\ + & * & * & * & * & * & \\ \hline & * & * & * & * & 4 & 6 \end{array}\)

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה תורת המספרים -> חלוקה חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 4

• אורנים ביער

  היַעֲרָן סופר אורנים ביער. הוא עשה הליכה לאורך כל אחד המעגלים שבתמונה, ובתוך כל מעגל הוא ספר `3` אורנים בדיוק. הוכיחו כי היערן בוודאות טעה בספירה.

  

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  נתונה טבלה בגודל `29×29`, שבמשבצות שלה כתובים כל המספרים השלמים מ-`1` עד `29`, כל אחד `29` פעמים בדיוק. ידוע כי סכום כל המספרים הכתובים מעל האלכסון הראשי גדול מסכום כל המספרים מתחת לאלכסון הראשי בדיוק פי שלוש. איזה מספר כתוב במשבצת המרכזית של הטבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  מלוח שחמט גוזרים שתי פינות מנוגדות (השדות `a1` ו-`h8`, למשל). האם תוכלו לרצף את הלוח שנשאר על ידי אבני דומינו?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> התאמות לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט חידות ורבוסים

• נמלים על המקל

  על מקל שאורכו מטר אחד יש `10` נמלים, `5` מכל צד, במרחקים של סנטימטר אחד (ראו ציור). הנמלים שבצד השמאלי של המקל הולכות ימינה, והנמלים שבצד הימני של המקל הולכות שמאלה. מהירות של כל נמלה קבועה ושווה לסנטימטר אחד בשנייה. כאשר שתי נמלים נפגשות, שתיהן הופכות כיוון ומתחילות להתרחק זו מזו. כאשר נמלה כלשהי מגיעה לקצה המקל, היא נופלת (נמלים הן יצורים מפגרים במיוחד).

  

  א. האם יקרה המצב שכל הנמלים יפלו מהמקל, ואם כן, אז תוך כמה זמן?

  ב. כמה התנגשויות יתקיימו בין הנמלים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• חיידקים במבחנה

  למדען יש מבחנה ובתוכה חיידקים. כל שנייה כל אחד מהחיידקים מתפצל לשניים. בעוד שעתיים המבחנה הייתה מלאה בחיידקים עד הסוף. כמה זמן לפני זה המבחנה הייתה מלאה בדיוק עד לחצי?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> בעיות מילוליות -> פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"

• שאלה

  מצאו את המסכום של כל המספרים הטבעיים מ-`1` עד `100`.

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> טכניקה אלגברית לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית